Loading jsMath...

Cirkelvergelijkingen

De vergelijking voor de cirkel c met middelpunt M en straal r is gelijk aan:

{\left( {x - {x_M}} \right)^2} + {\left( {y - {y_M}} \right)^2} = {r^2}

Voorbeeld 1

Onderzoek met een berekening of het punt A(1,-1) op, binnen of buiten de cirkel c:x^2+y^2-8x-4y+3=0 ligt.

Uitwerking

Je kunt met kwadraatafsplitsen de vergelijking van c schrijven in de standaardvorm :

\eqalign{   & {x^2} + {y^2} - 8x - 4y + 3 = 0  \cr   & {x^2} - 8x + {y^2} - 4y + 3 = 0  \cr   & {(x - 4)^2} - 16 + {\left( {y - 2} \right)^2} - 4 + 3 = 0  \cr   & {(x - 4)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 17 \cr}

Het middelpunt is M(4,2) en r=\sqrt{17}.

d(A,M)=\sqrt{18} en dat is groter dan r dus A ligt buiten c.

Cirkels en raaklijnen

  • Een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de straal naar het raakpunt
  • De afstand van het raakpunt tot het middelpunt van de cirkel is gelijk aan de straal

Er zijn 3 raaklijnproblemen:

  1. Stel een vergelijking op van de cirkel c als het middelpunt van de cirkel gegeven is en een lijn waaraan c raakt.
  2. Stel een vergelijking op van de lijn l als de cirkel gegeven is en een punt op de cirkel waar l de cirkel raakt.
  3. Stel een vergelijking op van de lijn k als de cirkel waaraan k raakt gegeven is en de richting van k.

Voorbeeld 2

  1. Stel een vergelijking op van de cirkel c_1 met middelpunt M(3,-2) die de lijn k:x+3y=7 raakt.
  2. Stel een vergelijking op van de lijn l die de cirkel c_2:(x+2)^2+(y+1)^2=17 raakt in het punt B(2,0).
  3. Gegeven is de cirkel c_3:x^2+y^2-2x-4y=0. Bereken voor welke waarden van b de lijn y=2x+b de cirkel raakt.

Zie uitwerking voorbeeld 2

Werkschema

Het opstellen van een vergelijking van een raaklijn k aan een cirkel c met middelpunt M in een gegeven punt A op c.

  1. Bereken de richtingscoëfficiënt rc_l van de lijn l door M en A.
  2. Gebruik k\bot l, dus rc_k\cdot rc_l=-1 om de richtingscoëfficiënt rc_k van k te berekenen.
  3. Gebruik rc_k en de coördinaten van A om een vergelijking van k op te stellen.

Zie b. van voorbeeld 2

Cirkels en afstanden

Bij een cirkel c met middelpunt M en straal r geldt:

  • Voor A binnen c: d(A,c)=r-d(M,A)
  • Voor B buiten c: d(B,c)=d(M,B)-r

Voor de afstand van 2 cirkels c_1 en c_2 met middelpunten M en N geldt:

d(c_1,c_2)=d(M,N)-r_1-r_2

Voorbeeld 3

Gegeven is de cirkel c:x^2+y^2-8x-4y+10=0 en de lijn k:x+3y=-10.

  • Bereken exact d(k,c)

Zie uitwerking voorbeeld 3