Cirkelvergelijkingen
De vergelijking voor de cirkel c met middelpunt M en straal r is gelijk aan:
{\left( {x - {x_M}} \right)^2} + {\left( {y - {y_M}} \right)^2} = {r^2}
Voorbeeld 1
Onderzoek met een berekening of het punt A(1,-1) op, binnen of buiten de cirkel c:x^2+y^2-8x-4y+3=0 ligt.
Uitwerking
Je kunt met kwadraatafsplitsen de vergelijking van c schrijven in de standaardvorm :
\eqalign{
& {x^2} + {y^2} - 8x - 4y + 3 = 0 \cr
& {x^2} - 8x + {y^2} - 4y + 3 = 0 \cr
& {(x - 4)^2} - 16 + {\left( {y - 2} \right)^2} - 4 + 3 = 0 \cr
& {(x - 4)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 17 \cr}
Het middelpunt is M(4,2) en r=\sqrt{17}.
d(A,M)=\sqrt{18} en dat is groter dan r dus A ligt buiten c.
|
Cirkels en raaklijnen
-
Een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de straal naar het raakpunt
-
De afstand van het raakpunt tot het middelpunt van de cirkel is gelijk aan de straal
Er zijn 3 raaklijnproblemen:
-
Stel een vergelijking op van de cirkel c als het middelpunt van de cirkel gegeven is en een lijn waaraan c raakt.
-
Stel een vergelijking op van de lijn l als de cirkel gegeven is en een punt op de cirkel waar l de cirkel raakt.
-
Stel een vergelijking op van de lijn k als de cirkel waaraan k raakt gegeven is en de richting van k.
Voorbeeld 2
-
Stel een vergelijking op van de cirkel c_1 met middelpunt M(3,-2) die de lijn k:x+3y=7 raakt.
-
Stel een vergelijking op van de lijn l die de cirkel c_2:(x+2)^2+(y+1)^2=17 raakt in het punt B(2,0).
-
Gegeven is de cirkel c_3:x^2+y^2-2x-4y=0. Bereken voor welke waarden van b de lijn y=2x+b de cirkel raakt.
Zie uitwerking voorbeeld 2
|
Werkschema
Het opstellen van een vergelijking van een raaklijn k aan een cirkel c met middelpunt M in een gegeven punt A op c.
-
Bereken de richtingscoëfficiënt rc_l van de lijn l door M en A.
-
Gebruik k\bot l, dus rc_k\cdot rc_l=-1 om de richtingscoëfficiënt rc_k van k te berekenen.
-
Gebruik rc_k en de coördinaten van A om een vergelijking van k op te stellen.
Zie b. van voorbeeld 2
|
Cirkels en afstanden
Bij een cirkel c met middelpunt M en straal r geldt:
-
Voor A binnen c: d(A,c)=r-d(M,A)
-
Voor B buiten c: d(B,c)=d(M,B)-r
Voor de afstand van 2 cirkels c_1 en c_2 met middelpunten M en N geldt:
d(c_1,c_2)=d(M,N)-r_1-r_2
Voorbeeld 3
Gegeven is de cirkel c:x^2+y^2-8x-4y+10=0 en de lijn k:x+3y=-10.
Zie uitwerking voorbeeld 3
|