2. de normale verdeling
De normale verdeling
Een paar eigenschappen van een normale verdeling:
- klokvormig
- symmetrisch t.o.v. het gemiddelde.
- gemiddelde, mediaan en modus vallen samen
- de verdeling wordt bepaald door de verwachtingswaarde en de standaarddeviatie
Vuistregels bij de normale verdeling
- 68% van de gegevens wijkt op z'n hoogst één keer de standaarddeviatie af van de verwachtingswaarde
- 95% van wijkt op z'n hoogst twee keer de standaarddeviatie af van de verwachtingswaarde
Toepassen van de vuistregels
Gegeven is dat de lengte van mannen normaal verdeeld is met $\mu=178\,cm$ en $\sigma=8\,cm$. Je kunt dan (bijvoorbeeld) de volgende verdeling maken:
Dus 34% van de mannen heeft een lengte tussen 170 en 178 cm.
Normaal waarschijnlijkheidspapier
Bij een normale verdeling hoort een rechte lijn op normaal-waarschijnlijkheidspapier.
Je kunt $\mu$ aflezen bij de relatieve cumulatieve frequentie $50$. Je kunt $\mu + \sigma$ aflezen bij de relatieve cumulatieve frequentie $84$. Hieruit volgt $\sigma$.
Opdracht 1 (18)
Het gewicht van de mandarijnen uit een grote partij is normaal verdeeld met een gemiddelde van 80 gram. Verder is bekend dat 16% van de mandarijnen minder dan 76 gram weegt.
- Bereken de standaardafwijking
Opdracht 2 (A19)
Van 200 konijnen is het gewicht normaal verdeeld met een gemiddelde van 2,1 kg en een standaardafwijking van 0,3 kg.
- Hoeveel procent van de konijnen is zwaarder dan 2,7 kg?
- Hoeveel konijnen hebben een gewicht tussen 1,5 en 2,4 kg?
- Hoeveel konijnen zijn er lichter dan 1,8 kg?
- Wat weet je van de gewichten van de zwaarste konijnen in deze groep?
Opdracht 3 (A25)
Van een grote groep mannen is de lengte normaal verdeeld. Verder is bekend dat 15% korter is dan 1,70 m en 25% langer dan 1,85 m. Gebruik het normaal-waarschijnlijkheidspapier om uit te zoeken hoe groot het gemiddelde en de standaarddeviatie van de lengte zijn. Rond af op gehele centimeters.
Opdracht 4 (A26)
Een bioloog onderzoekt van enkele soorten planten de lengte van de bladeren. Van elke soort zet hij de resultaten in mm uit op normaal-waarschijnlijkheidspapier. Telkens blijkt de lengte normaal verdeeld te zijn.
- De lijnen van de soorten $A$ en $B$ zijn evenwijdig. Wat weet je van de bladlengte van de soorten $A$ en $B$?
- De lijn bij soort $A$ is steiler dan die hoort bij soort $C$. Wat volgt hieruit?
- De lijnen bij de soorten $C$ en $D$ snijden elkaar is het punt (48,80). Wat kan je zeggen van de soorten $C$ en $D$?
- De gemiddelde bladlengte van soort $B$ is gelijk aan die van soort $D$. Wat weet je van de lijnen bij de soorten $B$ en $D$ op normaal-waarschijnlijkheidspapier?
Opdracht 1
16% weegt minder dan 76 gram, dus 76 ligt één standaardafwijking van het gemiddelde af. De standaardafwijking is 80-76=4 gram.
Opdracht 2
- 2,5%
- 13,5% + 68% = 81,5%. 0,815·200=163 konijnen
- 2,5% + 13,5% = 16%, dus 0,16·200=32 konijnen
- $\frac{5}{200}$·100%=2,5%, dus deze hebben een gewicht van meer dan 2,7 kg.
Opdracht 3
Bij 170 cm hoort 15%.
Bij 185 cm hoort 75%.
Lees af bij 50% dat $\mu=179\,cm$.
Lees af bij 84% dat $\mu+\sigma=188$, dus $\sigma=188-179=9\,cm$
Opdracht 4
- Evenwijdig betekent dezelfde standaardafwijking
- Dat de bladlengte van soort A een kleinere standaardafwijking heeft dan die van soort C.
- Dat zowel bij soort C als bij soort D 80% van de bladeren korter is dan 45 cm.
- De lijnen bij B en D moeten elkaar dan snijden op een hoogte van 50.