Gegeven een parabool met top $(0,0)$ en brandpunt $F(0,p)$. De richtlijn $r$ heeft als vergelijking $r:y=-p$. Voor een willekeurig punt $P$ op de parabool geldt:
$
\eqalign{
& d(P,F) = d\left( {P,r} \right) \cr
& \sqrt {x^2 + (y - p)^2 } = p + y \cr
& x^2 + (y - p)^2 = \left( {p + y} \right)^2 \cr
& x^2 + y^2 - 2py + p^2 = p^2 + 2py + y^2 \cr
& x^2 = 4py \cr}
$
Je kunt $
(x - a)^2 = 4p(y - b)
$ opvatten als een translatie van $x^2=4py$ over de vector $
\left( {\begin{array}{*{20}c}
a \\
b \\
\end{array}} \right)
$. Er geldt:
Voorbeeld
Gegeven $y=\frac{1}{4}x^2-x+2$.
Uitgewerkt
$
\eqalign{
& y = \frac{1}
{4}x^2 - x + 2 \cr
& x^2 - 4x + 8 = 4y \cr
& \left( {x - 2} \right)^2 + 4 = 4y \cr
& (x - 2)^2 = 4y - 4 \cr
& (x - 2)^2 = 4(y - 1) \cr
& p = 1 \cr}
$
Dat kan ook...