H. De parabool als conflictlijn
Opgave
Gegeven is de parabool $y^2-4y-6x-20=0$
- Geef het brandpunt en de richtlijn en schets de parabool.
Uitwerking
$
\eqalign{
& y^2 - 4y - 6x - 20 = 0 \cr
& \left( {y - 2} \right)^2 - 4 = 6x + 20 \cr
& \left( {y - 2} \right)^2 = 6x + 24 \cr
& \left( {y - 2} \right)^2 = 6(x + 4) \cr}
$
Dat was de parabool $y^2=6x$ met brandpunt $F(1\frac{1}{2},0)$ en richtlijn $x= -1\frac{1}{2}$. Die is $2$ omhoog en $4$ naar links geschoven. De top wordt $(-4,2)$ het brandpunt wordt $(-2\frac{1}{2}, 2)$ en de richtlijn $x = -5\frac{1}{2}$
De parabool als conflictlijn
Een parabool is de verzameling van alle punten met gelijke afstanden tot een punt en een lijn.
De parabool met brandpunt $F(\frac{1}{2}p,0)$ en richtlijn $l:x=\frac{1}{2}p$ heeft vergelijking $y^2=2px$.
Je kunt $(y-b)^2=2p(x-a)$ beschouwen als een translatie over de vector $ \left( {\begin{array}{*{20}c}
a \\
b \\
\end{array}} \right)
$ van $y^2=2px$. Er geldt:
- Top $(a,b)$
- Brandpunt $F(\frac{1}{2}p+a,b)$
- Richtlijn $l:x=-\frac{1}{2}p+a$
Voorbeeld
Gegeven: $y^2+8y=6x+2$
- Geef de coördinaten van het brandpunt en een vergelijking van de richtlijn.
Uitgewerkt
$
\eqalign{
& y^2 + 8y = 6x + 2 \cr
& (y + 4)^2 - 16 = 6x + 2 \cr
& (y + 4)^2 = 6x + 18 \cr
& (y + 4)^2 = 6(x + 3) \cr
& p = 3 \cr
& Top( - 3, - 4) \cr}
$
- Brandpunt $F(-1\frac{1}{2},-4)$
- Richtlijn $l:x=-4\frac{1}{2}$
Zie de parabool