4. Raaklijnen
Voorbeeld
Hiernaast zie je de grafiek van een functie f met de raaklijn in het punt x=3.
De richtingscoëfficiënt van de raaklijn zegt iets over de helling van de grafiek van f. Het zou aardig zijn als je bij een willekeurige functie iets zou kunnen zeggen over de helling in elk punt van de grafiek. Zoiets is zelf ook weer een functie en wordt wel hellingsfunctie of afgeleide genoemd.
Bij Analyse jaar 1 krijg je daar nog 't een en ander over te horen. Het 'berekenen' van de afgeleide heet differentiëren. In deze cursus gaan we kijken naar het differentiëren met behulp van de GR.
Voorkennis
- Een vergelijking bepalen van een lijn door twee gegeven punten.
- Een vergelijking bepalen van een lijn door een punt met gegeven richtingscoëfficiënt.
- Differentiequotiënten berekenen in geval de functie is gegeven door een tabel, grafiek of formule.
- Differentiequotiënten interpreteren als maat voor de gemiddelde verandering op een interval.
- Bij afnemende stapgrootte differentiequotiënten interpreteren als benadering van de steilheid of helling van de grafiek in een gegeven punt.
- Het differentiaalquotiënt gebruiken als maat voor de lokale verandering van een functie en als richtingscoëfficiënt van de raaklijn.
- De helling in een punt numeriek-grafisch benaderen als de functie gegeven is door een formule.
Opgave 1
- De lijn l gaat door de punten A(-2,-3) en B (0,2). Geef de formule van l.
- De lijn k gaat door het punt C(3,2) en heeft een richtingscoëfficiënt van 21/3.
Geef de formule van k. - De horizontale lijn m gaat door A. Geef de vergelijking van m.
Opgave 2
Gegeven de functie f(x)=x2-4x
- Bereken de gemiddelde toename op het interval [1,4].
- Benader met behulp van het differentiequotiënt de helling in het punt (1,-3).
Met de GR
De laatste vraag kan je ook heel goed doen met je GR.
Kies bij [CALC] voor 6:dy/dx:
Je krijgt dan de grafiek in beeld. Met de pijltjestoetsen kan je dan een punt selecteren waar je een benadering voor het differentiaalquotient wilt weten. Maar handiger is om gewoon 1 in te toetsen (we willen immers de helling weten in x=1). Je krijgt dan X=1 in beeld... klik op [ENTER] en je krijgt wat je zocht:
De helling in (1,-3) is -2.
Opgave 3
- Bereken op dezelfde manier de helling in het punt x=2, x=3 en x=4.
Nog meer raaklijnen
Via [DRAW] kan je bij het tekenen eenvoudig raaklijnen aan de grafiek laten tekenen. Een voorbeeld dan maar...
- Neem Y1=X2-5X+1
- [GRApH] of ZStandard
- [DRAW]
- 5:Tangent(
- Niets invullen, dan kom je weer terug in het grafiekenscherm
- Toets bijvoorbeeld 2 en dan [ENTER]... en als 't goed gaat krijg je de raaklijn te zien en de vergelijking van de raaklijn:
Opgave 4
- Geef de vergelijking van de raaklijn in het punt x=4 van f(x)=x2-5x+1