4. stelsels differentievergelijkingen
Prooi-roofdiermodellen
Bij een prooi-roofdiermodel hoort een stelsel van twee differentievergelijkingen.
In het model hieronder is $P_t$ het aantal prooidieren op tijdstip $t$ en $R_t$ is het aantal roofdieren op tijdstip $t$:
$P_t=a\cdot P_{t-1}+b\cdot R_{t-1}\cdot P_{t-1}$
$R_t=c\cdot R_{t-1}+d\cdot P_{t-1}\cdot R_{t-1}$
Met gegeven startwaarden $P_0$ en $R_0$ kan je het model doorrekenen met je GR. Je kunt een tijdgrafiek of een prooi-roofdierdiagram tekenen.
Evenwichtswaarden
Bij het model kan je de evenwichtswaarden $\overline P$ en $\overline R$ als volgt berekenen:
Uit $\overline R=c\cdot\overline R+d\cdot\overline P\cdot\overline R$ volgt door delen door $\overline R$:
- $1=c+d\cdot\overline P$
Hieruit volgt dan $\overline P$
Uit $\overline P=a\cdot\overline P+b\cdot\overline R\cdot\overline P$ volgt dan $\overline R$.
Een model van een griepepidemie
Het verloop van een griepepidemie kan beschreven worden met het model hieronder. Hierin is $G_t$ het aantal mensen dat op tijdstip $t$ nog niet de griep heeft gehad. $Z_t$ is het aantal mensen dat ziek is op tijdstip $t$. $I_t$ is het aantal mensen dat op tijdstip $t$ immuun is.
$G_t=G_{t-1}-a\cdot G_{t-1}\cdot Z_{t-1}$
$Z_t=Z_{t-1}+a\cdot G_{t-1}\cdot Z_{t-1}-b\cdot Z_{t-1}$
$I_t=I_{t-1}+b\cdot Z_{t-1}$
Bij gegeven startwaarden $G_0$, $Z_0$ en $I_0$ kan je dan met je GR van alles ondernemen.
- Zie griepepidemie
Directe formules bij een stelsel differentievergelijkingen
Hieronder zie je een voorbeeld van een stelsel van differentievergelijkingen:
$x_t=0,2x_{t-1}+0,7y_{t-1}$
$y_t=0,8x_{t-1}+0,3y_{t-1}$
Gegeven $x_0=10$ en $y_0=20$ kan je directe formules afleiden voor $x_t$ en $y_t$.
Je kunt zien dat er sprak is van een gesloten systeem omdat zowel de coëfficiënten van $x_{t-1}$ als de coëfficiënten van $y_{t-1}$ samen 1 zijn. Omdat het systeem gesloten is blijft $x_t+y_t$ constant.
Zie uitwerking
Voorbeeld
Gegeven is het prooi-roofdiermodel:
$
\left\{ \begin{array}{l}
P_t=1,1\cdot P_{t-1}-0,0005\cdot P_{t-1}\cdot R_{t-1}\\
R_t=0,85\cdot R_{t-1}+0,0003\cdot P_{t-1}\cdot R_{t-1}\\
\end{array} \right.
$
-
Neem $P_0 = 500$ en $R_0=200$
Verklaar het verloop van de aantallen roofdieren en prooidieren. -
Neem $P_0=500$ en $R_0=100$
Bereken wanneer het totaal aantal dieren (prooidieren én roofdieren) voor het eerst meer dan 1000 is.
©hhofstede.nl
Zie uitwerking 2