3. exponentiële functies
De standaardfunctie y=gx
Een functie van de vorm $f(x)=g^x$ met $g$ constant en $g\gt0$ is een exponentiële functie. De variabele $x$ staan in de exponent.
De grafiek van $f$ is stijgend als $g\gt1$ en de grafiek is dalend in het geval $0\lt g\lt1$.
De $x$-as is een asymptoot.
- $D_f=R$
- $B_f=<0,\to>$
De functie $f(x)=g^x$ is een standaardfunctie en de grafiek is een standaardgrafiek. Je mag ze zonder toelichting tekenen.
Transformaties en exponentiële functies
Door de standaardgrafiek $y=g^x$ te verschuiven, te vermenigvuldigen of te spiegelen onstaan andere grafieken.
Mogelijke transformaties:
- Spiegelen in de $x$- of $y$-as
- Verticale of horizontale verschuiving
- Vermenigvuldigen t.o.v. de $x$- of $y$-as
Zie overzicht transformaties van grafieken voor een volledig overzicht.
Voorbeelden
- Opgave $A50$ op bladzijde 32
Uitwerkingen
- Zie uitwerkingenboek
Zie ook toepassingen van transformaties van grafieken
Vermenigvuldigen met een factor t.o.v. y-as
Vervang 'x' door '$\frac{1}{a}$x' als je wilt vermenigvuldigen met de factor 'a' t.o.v. de y-as.
Voorbeeld
Als je $f(x)=x^2+x+1$ bijvoorbeeld wilt vermenigvuldigen met de factor $2$ t.o.v. de $y$-as dan krijg je:
$f(x)=(\frac{1}{2}x)^2+\frac{1}{2}x+1$
$f(x)=\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x+1$
Los op: $2^{x-2}-1<-\left({\frac{1}{2}}\right)^x+3$
Uitwerking
Neem $f(x)=2^{x-2}-1\,\,$.
Neem $\,\,g(x)=-\left( {\frac{1}{2}}\right)^x+3$.
Plot de grafieken op je GR, benader de snijpunten en geef de oplossingen zodat f(x)$<$g(x).
Oplossing: -2,0$<$x$<$4,0
Gegeven $f(x)=2^{\frac{x}{2}+2}-2\,\,$en$\,\,g(x)=x+2$.
Los op: f(x)>g(x)
Uitwerking
Benader de snijpunten met je GR.
Oplossing: $x<2\vee x>0$
Is dit een exacte oplossing? Kun je de vergelijking f(x)=g(x) algebraïsch oplossen?
Los exact op: $4\cdot2^{x-2}<2\cdot\left({\frac{1}{4}}\right)^x$
Uitwerking
Plot de grafieken met je GR en bereken exact het spijpunt.
$
\eqalign{
& 4 \cdot 2^{x - 2} = 2 \cdot \left( {\frac{1}
{4}} \right)^x \cr
& 2^2 \cdot 2^{x - 2} = 2 \cdot \left( {\frac{1}
{{2^2 }}} \right)^x \cr
& 2^x = 2 \cdot \left( {2^{ - 2} } \right)^x \cr
& 2^x = 2^1 \cdot 2^{ - 2x} \cr
& 2^x = 2^{ - 2x + 1} \cr
& x = - 2x + 1 \cr
& 3x = 1 \cr
& x = \frac{1}
{3} \cr}
$
Oplossing: $x>\frac{1}{3}$
Exponentiële vergelijkingen algebraïsch oplossen
Sommige exponentiële vergelijkingen moet je algebraische kunnen oplossen.
Voorbeelden
- $2^{x-3}=\sqrt{2}$
- $3^{x+1}=\frac{1}{9}\sqrt{3}$
- $2·3^{2x-1}=18$
Je werkt dan toe naar een vorm waarin het linkerlid en het rechterlid als macht van hetzelfde grondtal geschreven zijn. Je gebruikt:
- Als $g^A=g^B$ dan $A=B$
Voorbeelden
$
\eqalign{
& 2^{x - 3} = \sqrt 2 \cr
& 2^{x - 3} = 2^{\frac{1}
{2}} \cr
& x - 3 = \frac{1}
{2} \cr
& x = 3\frac{1}
{2} \cr}
$
$
\eqalign{
& 3^{x + 1} = \frac{1}
{9}\sqrt 3 \cr
& 3^{x + 1} = 3^{ - 2} \cdot 3^{\frac{1}
{2}} \cr
& 3^{x + 1} = 3^{ - 1\frac{1}
{2}} \cr
& x + 1 = - 1\frac{1}
{2} \cr
& x = - 2\frac{1}
{2} \cr}
$
$
\eqalign{
& 2 \cdot 3^{2x - 1} = 18 \cr
& 3^{2x - 1} = 9 \cr
& 3^{2x - 1} = 3^2 \cr
& 2x - 1 = 2 \cr
& 2x = 3 \cr
& x = 1\frac{1}
{2} \cr}
$