3. cirkelvergelijkingen
De cirkelvergelijking (x-a)2+(y-b)2=r2
De cirkel met middelpunt $M(a,b)$ en straal $r$ heeft als vergelijking:
- $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
Omdat een raaklijn van een cirkel loodrecht staat op de straal naar het raakpunt, is de straal van de cirkel gelijk aan de afstand van $M$ tot $k$, dus $r=d(M,k)$
Voorbeeld
- Stel een vergelijking op van de cirkel $c$ met middelpunt $M(3,4)$ die de lijn $k:y=\frac{1}{2}x$ raakt.
Aanpak
- Stel een vergelijking op voor de lijn $l$ die door M gaat en loodrecht staat op $k$.
- Bereken het snijpunt $A$ van $l$ en $k$.
- $r=d(M,k)=d(M,A)$
- De vergelijking wordt $c:(x-3)^2+(y-4)^2=r^2$
De uitwerking staat in je boek op bladzijde 108.
Kwadraatafsplitsen
Voor het herleiden van de vergelijking $x^2+y^2-4x+6y-3=0$ tot de vorm $(x-2)^2+(y+3)^2=16$ gebruik je de techniek van het kwadraatafsplitsen.
Voorbeeld
Wat is het middelpunt en de straal van de cirkel met vergelijking $x^2+y^2+8x-2y+6=0$?
Uitwerking
$x^2+y^2+8x-2y+6=0$
$x^2+8x+y^2-2y+6=0$
$(x+4)^2-16+(y-1)^2-1+6=0$
$(x+4)^2+(y-1)^2-11=0$
$(x+4)^2+(y-1)^2=11$
Het middelpunt is $M(-4,1)$ en de straal is $r=\sqrt{11}$
Kwadraatafsplitsen
Kwadraatafsplitsen is een tweedegraads formule schrijven als een kwadraat.
Op kwadraatafsplitsen staat uitleg... Je kunt HIER oefenen....
filmpje!De cirkelvergelijking x2+y2+ax+by+c=0
Door de vergelijking $x^2+y^2+6x-8y+15=0$ te schrijven in de vorm $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ kun je zien dat je met een cirkel met middelpunt $(a,b)$ en straal $r$ te maken hebt. Je gebruikt daarbij kwadraatafsplitsen.
- De afstand van een punt tot een kromme is de lengte van het korste verbindingslijnstuk tussen het punt en de kromme.
Afstand van punt tot cirkel $c$ met middelpunt $M$ en straal $r$
- Voor punt $A$ binnen $c$ geldt $d(A,c)=r-d(M,A)$
- Voor punt $B$ buiten $c$ geldt $d(B,c)=d(M,B)-r$
Denkactiviteit
Bereken voor welke waarde van $a$ de lijn $k:2x+y=18$ raakt aan de cirkel $c:x^2+y^2-8x+a=0$
Antwoord
- $a=-4$
- Zie uitwerking