2. afstanden bij punten en lijnen
De afstand tussen twee punten
De afstand tussen twee meetkundige figuren is de lengte van het kortste verbindingslijnstuk tussen die figuren.
De afstand tussen de punten $A$ en $B$ is de lengte van het lijnstuk $AB$. Je kunt de afstand noteren als $d(A,B)$ met de $d$ van afstand.
Voor de punten $A(x_A,y_B)$ en $B(x_B,y_B)$ geldt is de afstand tussen $A$ en $B$ gelijk aan:
$d(A,B)=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
De coördinaten van het midden $M$ van het lijnstuk $AB$ zijn:
$x_M=\frac{1}{2}(x_A+x_B)$
$y_M=\frac{1}{2}(y_A+y_B)$
Onderlinge loodrechte lijnen
Als voor de lijnen $k$ en $l$ geldt $rc_k·rc_l=-1$ dan staan de lijnen loodrecht op elkaar.
Voorbeeld
De lijn $k$ staat loodrecht op de lijn $l:y=3x-2$ en gaat door het punt $A(6,7)$.
- Stel een vergelijking op voor de lijn $k$
Uitwerking
Als $rc_l=3$ dan $rc_k=-\frac{1}{3}$. De vergelijking voor $k$ wordt:
$y=-\frac{1}{3}x+b$.
Vul $(6,7)$ in om de waarde van $b$ te berekenen:
$7=-\frac{1}{3}·6+b$
$7=-2+b$
$b=9$
$k:y=-\frac{1}{3}x+9$
De afstand van een punt tot een lijn
De afstand van een punt $P$ tot een lijn $l$ is de afstand van $P$ tot zijn loodrechte projectie $P'$ op $l$.
Werkschema: het berekenen van de afstand van een punt $A$ tot de lijn $k$:
- Stel een vergelijking op van de lijn $l$ door $A$ die loodrecht staat op $k$.
- Bereken de coördinaten van het snijpunt $B$ van $k$ en $l$.
- Gebruik $d(A,k)=d(A,B)$
Voorbeeld
- Bereken exact de afstand van het punt $A(5,5)$ tot de lijn $k:3x+2y=12$.
Uitwerking
Stel een vergelijking op voor de lijn $l$ door $A(5,5)$ loodrecht op $k$. Dat zal iets zijn als $l:2x-3y=c$. Vul $A(5,5)$ in en je krijgt $c=-5$. Je krijgt:
$\left\{\begin{array}{l}3x+2y=12\\2x-3y= -5\\\end{array}\right.$
...
$\left\{ \begin{array}{l} x = 2 \\ y = 3 \\ \end{array} \right.$
Het snijpunt van $l$ en $k$ is $B(2,3)$, dus $d(A,k)=d(A,B)=\sqrt{(2-5)^2+(3-5)^2}=\sqrt{13}$