` Wiskundeleraar
©2012 wiskundeleraar.nl

5. stelling en bewijs

Stellingen bewijzen

Een definitie is bedoeld als afspraak. Het heeft geen zin je af te vragen of zo'n definitie wel waar is. Je kunt je natuurlijk wel afvragen of het zinvol is of je er iets aan hebt...

Het definieren van een begrip wordt pas zinvol als je van dit begrip bepaalde eigenschappen hebt ontdekt.

De eigenschappen, die voor bepaalde begrippen gelden, worden geformuleerd in stellingen.

Stellingen zijn beweringen over bepaalde dingen. Stellingen moeten daarom bewezen worden.

q11854img2.gifVoorbeeld

Definitie
Een gelijkzijdige driehoek is een driehoek met gelijke zijden.

Stelling
In een gelijkzijdige driehoek zijn alle hoeken 60$^o$.


Vermoedens en tegenvoorbeelden

Om van een vermoeden een stelling te maken zul je de stelling moeten bewijzen.

Lukt het niet om een vermoeden te bewijzen dan kun je je afvragen of het vermoeden wel juist is. Het geven van slechts één tegenvoorbeeld is voldoende om aan te tonen dat het vermoeden niet juist is.

Voorbeeld

Stelling: de formule $P_n=n^2+n+41$ geeft voor alle waarden van $n\ge0$ een priemgetal.

$n$=0 $\to$ $P_0$=41 Klopt!
$n$=1 $\to$ $P_1$=43 Klopt!
$n$=2 $\to$ $P_2$=47 Klopt!
$n$=3 $\to$ $P_3$=53 Klopt!
...

Dat ziet er goed uit, maar de stelling is onzin...:-)

Tegenvoorbeeld

  • Probeer zelf een tegenvoorbeeld te vinden voor deze stelling.

De middenparallel

Definitie
De middenparallel van een driehoek is een lijnstuk dat loopt van het midden van de ene zijde naar het midden van een tweede zijde.

Eigenschappen:

  • de middenparallel is evenwijdig is aan de derde zijde
  • de lengte van de middenparallel is precies de helft is van de lengte van die derde zijde

q11854img1.gif

Maar ik heb 't idee dat het boek een andere definitie gebruikt...:-)

plaatjes


Zwaartelijnen

Definitie
Een zwaartelijn van een driehoek is de lijn door een hoekpunt van de driehoek die door het midden van de tegenoverliggende zijde gaat.

Stelling 1
Twee zwaartelijnen van een driehoek verdelen elkaar in stukken die zich verhouden als 1:2.

Stelling 2
De drie zwaartelijnen van in een driehoek gaan door één punt.

q11854img3.gif


Volgende Vorige

Terug Home

Login View