5. stelling en bewijs
Stellingen bewijzen
Een definitie is bedoeld als afspraak. Het heeft geen zin je af te vragen of zo'n definitie wel waar is. Je kunt je natuurlijk wel afvragen of het zinvol is of je er iets aan hebt...
Het definieren van een begrip wordt pas zinvol als je van dit begrip bepaalde eigenschappen hebt ontdekt.
De eigenschappen, die voor bepaalde begrippen gelden, worden geformuleerd in stellingen.
Stellingen zijn beweringen over bepaalde dingen. Stellingen moeten daarom bewezen worden.
Voorbeeld
Definitie
Een gelijkzijdige driehoek is een driehoek met gelijke zijden.
Stelling
In een gelijkzijdige driehoek zijn alle hoeken 60$^o$.
Vermoedens en tegenvoorbeelden
Om van een vermoeden een stelling te maken zul je de stelling moeten bewijzen.
Lukt het niet om een vermoeden te bewijzen dan kun je je afvragen of het vermoeden wel juist is. Het geven van slechts één tegenvoorbeeld is voldoende om aan te tonen dat het vermoeden niet juist is.
Voorbeeld
Stelling: de formule $P_n=n^2+n+41$ geeft voor alle waarden van $n\ge0$ een priemgetal.
$n$=0 $\to$ $P_0$=41 Klopt!
$n$=1 $\to$ $P_1$=43 Klopt!
$n$=2 $\to$ $P_2$=47 Klopt!
$n$=3 $\to$ $P_3$=53 Klopt!
...
Dat ziet er goed uit, maar de stelling is onzin...:-)
Tegenvoorbeeld
- Probeer zelf een tegenvoorbeeld te vinden voor deze stelling.
De middenparallel
Definitie
De middenparallel van een driehoek is een lijnstuk dat loopt van het midden van de ene zijde naar het midden van een tweede zijde.
Eigenschappen:
- de middenparallel is evenwijdig is aan de derde zijde
- de lengte van de middenparallel is precies de helft is van de lengte van die derde zijde
Maar ik heb 't idee dat het boek een andere definitie gebruikt...:-)
Zwaartelijnen
Definitie
Een zwaartelijn van een driehoek is de lijn door een hoekpunt van de driehoek die door het midden van de tegenoverliggende zijde gaat.
Stelling 1
Twee zwaartelijnen van een driehoek verdelen elkaar in stukken die zich verhouden als 1:2.
Stelling 2
De drie zwaartelijnen van in een driehoek gaan door één punt.
