2. evenredig en omgekeerd evenredig
Recht evenredig
$y$ is (recht) evenredig met $x$:
- Vermenigvuldig je $x$ met een getal dan moet je $y$ met helzelfde getal vermenigvuldigen
- De bijbehorende tabel is een verhoudingstabel
- De formule heeft de vorm $y=ax$
- De grafiek is een rechte lijn door de oorsprong
Omgekeerd evenredig
$y$ is omgekeerd evenredig met $x$
- Vermenigvuldig je $x$ met een getal dan moet je $y$ door hetzelfde getal delen
- Het product $x\cdot y$ is constant. dus $xy=c$ ofwel $\eqalign{y=\frac{c}{x}}$
- De grafiek is een hyperbool
Evenredig met een macht van x
$y$ is evenredig met $x^n$ betekent dat er een getal $a$ bestaat zo dat $y=a\cdot x^n$
Voorbeeld
Is $y$ evenredig met $x^{2,3}$ en hoort bij $x=3$ de $y$-waarde 8 dan geldt:
$
\begin{array}{l}
8 = a \cdot 3^{2,3} \Rightarrow a = \frac{8}{{3^{2,3} }} \approx 0,639 \\
y = 0,639x^{2,3} \\
\end{array}
$
Omgekeerd evenredig met een macht van x
$y$ is omgekeerd evenredig met $x^n$ betekent dat er een getal $a$ bestaat zo dat $\eqalign{y=\frac{a}{x^n}}$
Voorbeeld
Als $y$ omgekeerd evenredig is met $x^{2}$ en voor x=6 is y=12 dan geldt:
$
\begin{array}{l}
y = \frac{a}{{x^2 }} \Rightarrow 12 = \frac{a}{{36}} \Rightarrow a = 432 \\
y = \frac{{432}}{{x^2 }} \\
\end{array}
$
Evenredigheid aantonen bij tabellen
Als je wilt aantonen dat $y$ evenredig is met $x^n$ bij een tabel met onderzoeksresultaten dan:
- Bereken bij elk onderzoeksresultaat het quotiënt $\eqalign{\frac{y}{x^n}}$
- Verschillende quotiënten weinig, dan is $y$ evenredig met $x^n$
Zie opgave A32 en A33 in je boek.
Stelsels bij evenredigheid
Neem aan dat $y$ evenredig is met een macht van $x$ waarbij niet bekend is welke macht dat is. In de formule $y=ax^n$ zijn zowel $a$ als $n$ onbekend.
Je hebt dan twee gegevens nodig om $a$ en $x$ te berekenen.
Voorbeeld
De benodigde hoeveelheid drinkwater $W$ van een dier hangt af vande lichaamsmassa $m$. Onderzoek heeft uitgewezen dat $W$ evenredig is met een macht van $m$. Hierbij is $W$ in mL/uur en $m$ in kg.
Een geit van 30 kg heeft per uur 90 mL water nodig en een varken van 70 kg heeft per uur 190 mL water nodig.
- Een gazelle heeft per dag 1,2 liter water nodig. Wat volgt hieruit voor de massa van de gazelle? Rond af op gehele kg.