uitwerkingen
Opgave 1
Peter laat een bal vallen op 135 cm hoogte. De bal komt bij het stuiteren telkens terug tot 70% van de vorige hoogte.
- Hoeveel cm heeft de bal in totaal afgelegd als hij is uitgestuiterd?
Uitwerking 1
De eerste keer legt de bal 135 cm af. Daarna 94,5 cm omhoog en 94,5 cm omlaag. Dat is samen 189 cm en dan steeds 70% van de voorafgaande afstand. Dat is een meetkundige rij:
$u_n=189·0,7^n$ met $u_0=189$.
De totaal afgelegde weg is dan:
$\eqalign{135+\frac{189}{0,3}\approx765\,cm}$
Opgave 2
Als men een elastische balletje laat vallen op een houten vloer, dan botst het terug tot op de helft van de hoogte waarvan het viel.
- Als we het laten vallen op 1 meter hoogte en we laten het botsen, welke afstand zal het dan in totaal afleggen?
Uitwerking 2
De eerste keer legt de bal 100 cm af. Daarna 50 cm omhoog en 50 cm omlaag. Dat is samen 100 cm en dan steeds 50% van de voorafgaande afstand. Dat is een meetkundige rij:
$
\eqalign{
& u_n = 100 \cdot 0,5^n \,\,met\,\,u_0 = 100 \cr
& S=100 + \frac{{100}}
{{0,5}} = 300\,\,cm \cr}
$
Opgave 3
Een botsbal springt telkens de helft van de hoogte waarvan hij valt terug. Nonkel Luc is de grootste van de familie en laat de botsbal vallen vanaf een hoogte van 192 centimeter.
- Wat is de totale afstand die de botsbal heeft afgelegd vanaf het moment dat nonkel Luc hem laat vallen tot hij voor de zevende keer de grond raakt?
Uitwerking 3
De eerste keer legt de bal 192 cm af. Na de eerste stuiter op gaat de bal 96 cm omhoog en 96 cm omlaag. Dat is samen 192 cm. Daarna komt er na elke stuiter de helft van die afstand bij. Dat is een voorbeeld van een meetkundige rij. Er geldt:
$
\eqalign{
& U_0 = 192 \cr
& r = 0,5 \cr
& U_n = 192 \cdot 0,5^n \cr
& \sum\limits_{k = 0}^n {u_k = \frac{{u_0 - u_{n + 1} }}
{{1 - r}}} \cr
& \sum\limits_{k = 0}^6 {u_k = \frac{{u_0 - u_7 }}
{{1 - 0,5}} = \frac{{192 - 1,5}}
{{0,5}}} = 381 \cr
& S = 192 + 381 = 573\,\,\,cm \cr}
$
