De algemene formule voor een tweedegraadsvergelijking is $ax^2+bx+c=0$. Je bent dat vast al een keer tegengekomen bij de abc-formule. De abc-formule geeft je dan de (mogelijke) oplossing van zo'n vergelijking.
Inmiddels heb je ook geleerd hoe je een tweedegraadsvergelijking op kan lossen met kwadraatafsplitsen. De vraag is nu hoe je met kwadraatafsplitsen de algemene vergelijking $ax^2+bx+c=0$ kan oplossen.
$
\eqalign{
& ax^2 + bx + c = 0 \cr
& x^2 + \frac{b}
{a}x + \frac{c}
{a} = 0 \cr
& \left( {x + \frac{b}
{{2a}}} \right)^2 - \frac{{b^2 }}
{{4a^2 }} + \frac{c}
{a} = 0 \cr
& \left( {x + \frac{b}
{{2a}}} \right)^2 = \frac{{b^2 }}
{{4a^2 }} - \frac{c}
{a} \cr
& x + \frac{b}
{{2a}} = - \sqrt {\frac{{b^2 }}
{{4a^2 }} - \frac{c}
{a}} \vee x + \frac{b}
{{2a}} = \sqrt {\frac{{b^2 }}
{{4a^2 }} - \frac{c}
{a}} \cr
& x = - \frac{b}
{{2a}} - \sqrt {\frac{{b^2 }}
{{4a^2 }} - \frac{c}
{a}} \vee x = - \frac{b}
{{2a}} + \sqrt {\frac{{b^2 }}
{{4a^2 }} - \frac{c}
{a}} \cr}
$
Opgelost...:-)
Schrijf $
\eqalign{\frac{{b^2 }}{{4a^2 }} - \frac{c}{a}}
$ als één breuk.
De abc-formule:
$
\eqalign{
& ax^2 + bx + c = 0 \cr
& x_{1,2} = \frac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }}
{{2a}} \cr}
$
Laat zien dat
$
\eqalign{x_{1,2} = - \frac{b}
{{2a}} \pm \sqrt {\frac{{b^2 }}
{{4a^2 }} - \frac{c}
{a}}}
$
hetzelfde is als de abc-formule.