3. exponentiële functies

De standaardfunctie y=gx Een functie van de vorm f(x)=g^x met g constant en g\gt0 is een exponentiële functie. De variabele x staan in de exponent. De grafiek van f is stijgend als g\gt1 en de grafiek is dalend in het geval 0\lt g\lt1. De x-as is een asymptoot. D_f=R B_f=<0,\to> De functie f(x)=g^x is een standaardfunctie en de grafiek is een standaardgrafiek. Je mag ze zonder toelichting tekenen.

Transformaties en exponentiële functies Door de standaardgrafiek y=g^x te verschuiven, te vermenigvuldigen of te spiegelen onstaan andere grafieken. Mogelijke transformaties: Spiegelen in de x- of y-as Verticale of horizontale verschuiving Vermenigvuldigen t.o.v. de x- of y-as Zie overzicht transformaties van grafieken voor een volledig overzicht. Voorbeelden Opgave A50 op bladzijde 32 Uitwerkingen Zie uitwerkingenboek Zie ook toepassingen van transformaties van grafieken

Vermenigvuldigen met een factor t.o.v. y-as Vervang 'x' door '\frac{1}{a}x' als je wilt vermenigvuldigen met de factor 'a' t.o.v. de y-as. Voorbeeld Als je f(x)=x^2+x+1 bijvoorbeeld wilt vermenigvuldigen met de factor 2 t.o.v. de y-as dan krijg je: f(x)=(\frac{1}{2}x)^2+\frac{1}{2}x+1 f(x)=\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x+1

Exponentiële ongelijkheden

Voorbeeld 1 Los op: 2^{x-2}-1<-\left({\frac{1}{2}}\right)^x+3 Uitwerking Neem f(x)=2^{x-2}-1\,\,. Neem \,\,g(x)=-\left( {\frac{1}{2}}\right)^x+3. Plot de grafieken op je GR, benader de snijpunten en geef de oplossingen zodat f(x)<g(x). Oplossing: -2,0<x<4,0
Voorbeeld 2 Gegeven f(x)=2^{\frac{x}{2}+2}-2\,\,en\,\,g(x)=x+2. Los op: f(x)>g(x) Uitwerking Benader de snijpunten met je GR. Oplossing: x<2\vee x>0 Is dit een exacte oplossing? Kun je de vergelijking f(x)=g(x) algebraïsch oplossen?
Voorbeeld 3 Los exact op: 4\cdot2^{x-2}<2\cdot\left({\frac{1}{4}}\right)^x Uitwerking Plot de grafieken met je GR en bereken exact het spijpunt. \eqalign{   & 4 \cdot 2^{x - 2}  = 2 \cdot \left( {\frac{1} {4}} \right)^x   \cr   & 2^2  \cdot 2^{x - 2}  = 2 \cdot \left( {\frac{1} {{2^2 }}} \right)^x   \cr   & 2^x  = 2 \cdot \left( {2^{ - 2} } \right)^x   \cr   & 2^x  = 2^1  \cdot 2^{ - 2x}   \cr   & 2^x  = 2^{ - 2x + 1}   \cr   & x =  - 2x + 1  \cr   & 3x = 1  \cr   & x = \frac{1} {3} \cr} Oplossing: x>\frac{1}{3}

Exponentiële vergelijkingen algebraïsch oplossen Sommige exponentiële vergelijkingen moet je algebraische kunnen oplossen. Voorbeelden 2^{x-3}=\sqrt{2} 3^{x+1}=\frac{1}{9}\sqrt{3} 2·3^{2x-1}=18 Je werkt dan toe naar een vorm waarin het linkerlid en het rechterlid als macht van hetzelfde grondtal geschreven zijn. Je gebruikt: Als g^A=g^B dan A=B

Voorbeelden \eqalign{   & 2^{x - 3}  = \sqrt 2   \cr   & 2^{x - 3}  = 2^{\frac{1} {2}}   \cr   & x - 3 = \frac{1} {2}  \cr   & x = 3\frac{1} {2} \cr} \eqalign{   & 3^{x + 1}  = \frac{1} {9}\sqrt 3   \cr   & 3^{x + 1}  = 3^{ - 2}  \cdot 3^{\frac{1} {2}}   \cr   & 3^{x + 1}  = 3^{ - 1\frac{1} {2}}   \cr   & x + 1 =  - 1\frac{1} {2}  \cr   & x =  - 2\frac{1} {2} \cr} \eqalign{   & 2 \cdot 3^{2x - 1}  = 18  \cr   & 3^{2x - 1}  = 9  \cr   & 3^{2x - 1}  = 3^2   \cr   & 2x - 1 = 2  \cr   & 2x = 3  \cr   & x = 1\frac{1} {2} \cr}

• twee voorbeelden

©2004-2025 W.v.Ravenstein