|
De afstand tussen twee punten
De afstand tussen twee meetkundige figuren is de lengte van het kortste verbindingslijnstuk tussen die figuren.
De afstand tussen de punten $A$ en $B$ is de lengte van het lijnstuk $AB$. Je kunt de afstand noteren als $d(A,B)$ met de $d$ van afstand.
Voor de punten $A(x_A,y_B)$ en $B(x_B,y_B)$ geldt is de afstand tussen $A$ en $B$ gelijk aan:
$d(A,B)=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
De coördinaten van het midden $M$ van het lijnstuk $AB$ zijn:
$x_M=\frac{1}{2}(x_A+x_B)$
$y_M=\frac{1}{2}(y_A+y_B)$
|
Onderlinge loodrechte lijnen
Als voor de lijnen $k$ en $l$ geldt $rc_k·rc_l=-1$ dan staan de lijnen loodrecht op elkaar.
Voorbeeld
De lijn $k$ staat loodrecht op de lijn $l:y=3x-2$ en gaat door het punt $A(6,7)$.
-
Stel een vergelijking op voor de lijn $k$
Uitwerking
Als $rc_l=3$ dan $rc_k=-\frac{1}{3}$. De vergelijking voor $k$ wordt:
$y=-\frac{1}{3}x+b$.
Vul $(6,7)$ in om de waarde van $b$ te berekenen:
$7=-\frac{1}{3}·6+b$
$7=-2+b$
$b=9$
$k:y=-\frac{1}{3}x+9$
|
|
De afstand van een punt tot een lijn
De afstand van een punt $P$ tot een lijn $l$ is de afstand van $P$ tot zijn loodrechte projectie $P'$ op $l$.
Werkschema: het berekenen van de afstand van een punt $A$ tot de lijn $k$:
-
Stel een vergelijking op van de lijn $l$ door $A$ die loodrecht staat op $k$.
-
Bereken de coördinaten van het snijpunt $B$ van $k$ en $l$.
-
Gebruik $d(A,k)=d(A,B)$
|
Voorbeeld
-
Bereken exact de afstand van het punt $A(5,5)$ tot de lijn $k:3x+2y=12$.
Uitwerking
Stel een vergelijking op voor de lijn $l$ door $A(5,5)$ loodrecht op $k$. Dat zal iets zijn als $l:2x-3y=c$. Vul $A(5,5)$ in en je krijgt $c=-5$. Je krijgt:
$\left\{\begin{array}{l}3x+2y=12\\2x-3y= -5\\\end{array}\right.$
...
$\left\{ \begin{array}{l} x = 2 \\ y = 3 \\ \end{array} \right.$
|
|
Het snijpunt van $l$ en $k$ is $B(2,3)$, dus $d(A,k)=d(A,B)=\sqrt{(2-5)^2+(3-5)^2}=\sqrt{13}$
|
