|
Oplossen van stelsels met behulp van matrices
Een matrixvermenigvuldiging:
$\left({\begin{array}{*{20}c}1&{-4}\\2&3\\\end{array}}\right)\left({\begin{array}{*{20}c}x\\y\\\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{*{20}c}8\\5\\\end{array}}\right)$
Uitwerken geeft:
$\left\{\begin{gathered}x-4y=8\\2x+3y=5\\\end{gathered}\right.$
Het stelsel hierboven kan je noteren als:
$\left({\left.{\begin{array}{*{20}c}1&{-4}\\2&3\\\end{array}}\right|\begin{array}{*{20}c}8\\5\\\end{array}}\right)$
De matrix $\left({\begin{array}{*{20}c}1&{-4}\\2&3\\\end{array}}\right)$ heet de coëfficiëntenmatrix van het stelsel.
De matrix $\left({\left.{\begin{array}{*{20}c}1&{-4}\\2&3\\\end{array}}\right|\begin{array}{*{20}c}8\\5\\\end{array}}\right)$ heet de aangevulde matrix van het stelsel.
Elk stelsel lineaire vergelijkingen is te noteren als een matrix. Zo hoort bij het stelsel:
$\left\{\begin{gathered}x+2y+3z=0\\3x-y+4z=3\\2x+5y-z=15\\\end{gathered}\right.$
de matrix:
$\left({\left.{\begin{array}{*{20}c}1&2&3\\3&{-1}&4\\2&5&{-1}\\\end{array}}\right|}\right.\left.{\begin{array}{*{20}c}0\\3\\{15}\\\end{array}}\right)$
Noem de rijen van de matrix $R_1$, $R_2$ en $R_3$. Je kunt het stelsel dan zo oplossen:
-
Trek $3R_1$ af van $R_2$ en trek $2R_1$ af van $R_3$
$\left({\left.{\begin{array}{*{20}c}1&2&3\\3&{-1}&4\\2&5&{-1}\\\end{array}}\right|}\right.\left.{\begin{array}{*{20}c}0\\3\\{15}\\\end{array}}\right)\to\left({\left.{\begin{array}{*{20}c}1&2&3\\0&{-7}&{-5}\\0&1&{-7}\\\end{array}}\right|}\right.\left.{\begin{array}{*{20}c}0\\3\\{15}\\\end{array}}\right)$
-
Tel $7R_3$ op bij $R_2$
$\left({\left.{\begin{array}{*{20}c}1&2&3\\0&{-7}&{-5}\\0&1&{-7}\\\end{array}}\right|}\right.\left.{\begin{array}{*{20}c}0\\3\\{15}\\\end{array}}\right)\to\left({\left.{\begin{array}{*{20}c}1&2&3\\0&0&{-54}\\0&1&{-7}\\\end{array}}\right|}\right.\left.{\begin{array}{*{20}c}0\\{108}\\{15}\\\end{array}}\right)$
-
Deel $R_2$ door $-54$
$\left({\left.{\begin{array}{*{20}c}1&2&3\\0&0&{-54}\\0&1&{-7}\\\end{array}}\right|}\right.\left.{\begin{array}{*{20}c}0\\{108}\\{15}\\\end{array}}\right)\to\left({\left.{\begin{array}{*{20}c}1&2&3\\0&0&1\\0&1&{-7}\\\end{array}}\right|}\right.\left.{\begin{array}{*{20}c}0\\{-2}\\{15}\\\end{array}}\right)$
$\left\{\begin{gathered}x=4\\y=1\\z=-2\\\end{gathered}\right.$
De oplossing van het stelsel is $(x,y,z)=(4,1,-2)$
|
Het Gauss-Jordan-algoritme
Bij het stelsel $\left\{\begin{gathered}x_1+3x_2+4x_3=8\\x_1+2x_2+5x_3=13\\3x_1+x_2-x_3=1\\\end{gathered}\right.$
hoort de aangevulde matrix
$\left({\left.{\begin{array}{*{20}c}1&3&4\\1&2&5\\3&1&{-1}\\\end{array}}\right|}\right.\left.{\begin{array}{*{20}c}8\\{13}\\1\\\end{array}}\right)$
Door de vegen in kolommen krijg je de matrix
$\left({\left.{\begin{array}{*{20}c}1&3&4\\0&1&{-1}\\0&0&1\\\end{array}}\right|}\right.\left.{\begin{array}{*{20}c}8\\{-5}\\3\\\end{array}}\right)$
De matrix staat nu in de rij-echelonvorm.
Matrix in rij-echelonvorm
-
Elk leidend element in de matrix is gelijk aan 1
-
De niet-nulrijen zijn zo geordend dat elke volgende rij met meer nullen begint
-
Eventuele nulrijen staan onderaan in de matrix
De matrix $\left({\left.{\begin{array}{*{20}c}1&3&4\\0&1&{-1}\\0&0&1\\\end{array}}\right|}\right.\left.{\begin{array}{*{20}c}8\\{-5}\\3\\\end{array}}\right)$ kan worden omgevormd tot de matrix
$\left({\left.{\begin{array}{*{20}c}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}}\right|}\right.\left.{\begin{array}{*{20}c}2\\{-2}\\3\\\end{array}}\right)$
Deze matrix staat in de gereduceerde rij-echelonvorm.
Matrix in gereduceerde rij-echelonvorm
-
De matrix staat in de rij-echelonvorm
-
In een kolom met een leidende 1 is elk ander element gelijk aan 0
Het omvormen van een matrix in rij-echelonvorm tot een matrix in gereduceerde rij-echelonvorm gaat met het vegen in kolommen met behulp van de leidende elementen.
Dit heet het Gauss-Jordan-algoritme.
|
