Goniometrische vergelijkingen oplossen

Voor welke $\alpha$ geldt: $\sin\alpha=\frac{1}{2}\sqrt{2}$? Met de eenheidscirkel vind je (in ieder geval) twee antwoorden! Dus $\alpha=\frac{1}{4}\pi$ of $\alpha=\frac{3}{4}\pi$. Maar klopt dat wel? Nee, dat klopt niet. Er zijn oneindig veel oplossingen. $\alpha=2\frac{1}{4}\pi$ of $\alpha=2\frac{3}{4}\pi$ of $\alpha=4\frac{1}{4}\pi$ of $\alpha=4\frac{3}{4}\pi$, enz... maar ook $\alpha=-1\frac{1}{4}\pi$ of $\alpha=-1\frac{3}{4}\pi$. Wij noemen dat wel modulo 2$\pi$. Dat wil zeggen dat er bij een oplossing bij steeds stapjes 2$\pi$ groter of kleiner ook oplossingen zijn.
Notatie Om alle antwoorden te geven gebruiken we de notatie $...+k\cdot2\pi$. Voor k kan je dan elk willekeurig geheel getal in vullen. Een oplossing zit er dan zo uit: $\sin{\alpha}=\frac{1}{2}\sqrt{2}$ $\alpha=\frac{1}{4}\pi+k\cdot2\pi$ of $\alpha=\frac{3}{4}\pi+k\cdot2\pi$ Je hebt (in dit geval) dus twee verschillende verzamelingen van een oneindig aantal antwoorden.
Voorbeeld 1 $ \sin 2\alpha  = \frac{1}{2} $ $ 2\alpha  = \frac{1}{6}\pi  + k \cdot 2\pi $ of $ 2\alpha  = \frac{5}{6}\pi  + k \cdot 2\pi $ $ \alpha  = \frac{1}{{12}}\pi  + k \cdot \pi $ of $ \alpha  = \frac{5}{{12}}\pi  + k \cdot \pi $ De hoeken zoek je op in de eenheidscirkel en dan modulo $2\pi$. Daarna kan je de vergelijking verder oplossen. In dit geval deel je door $2$. Kijk maar 's goed!
Voorbeeld 2 $ \sin \left( {\frac{1}{2}\alpha  - \frac{1}{2}\pi } \right) =  - \frac{1}{2}\sqrt 3 $ $ \frac{1}{2}\alpha  - \frac{1}{2}\pi  = 1\frac{1}{3}\pi  + k \cdot 2\pi $ of $ \frac{1}{2}\alpha  - \frac{1}{2}\pi  = 1\frac{2}{3}\pi  + k \cdot 2\pi $ $ \frac{1}{2}\alpha  = 1\frac{5}{6}\pi  + k \cdot 2\pi $ of $ \frac{1}{2}\alpha  = 2\frac{1}{6}\pi  + k \cdot 2\pi $ $ \alpha  = 3\frac{2}{3}\pi  + k \cdot 4\pi $ of $ \alpha  = 4\frac{1}{3}\pi  + k \cdot 4\pi $ De hoeken zoek je op in de eenheidscirkel en dan modulo $2\pi$. Daarna kan je de vergelijking verder oplossen. In dit geval links en rechts $\frac{1}{2}\pi$ optellen en vermengvuldigen met $2$. Kijk maar weer 's goed!

---

Opdracht

---

Los exact op:

1. $\sqrt 2  \cdot \sin \left( {2x  - \pi } \right) = 1$
2. $2\cos (2x - {\textstyle{1 \over 3}}{\rm{\pi }}) = \sqrt 3 $
3. $\sin (x)\cos (x) - \sin (x) = 0$
4. $\sin^2(x)=\frac{1}{2}$

©2004-2024 W.v.Ravenstein