Actueel
Archief
Culinair
Didactiek
Documentatie
Etalage
Formules
Fotoboeken
Functies
Geschiedenis
ICT
ICTauteur
Laatste nieuws
Lesmateriaal
Muziek
Natuur
Onderwijs
Ontspanning
Persoonlijk
Probleemaanpak
Proeftuin
Puzzels
Rekenen
Rekenmachines
Ruimtemeetkunde
Schoolwiskunde
Snippers
Systeem
Taal van de wiskunde
Vergelijkingen
Verhalen
WisFaq
WisKast




M. Bewijs


Opgave

Toon aan:

$
\left( {\begin{array}{*{20}c}
   {n + 2}  \\
   k  \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   n  \\
   k  \\
\end{array}} \right) + 2 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c}
   n  \\
   {k - 1}  \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
   n  \\
   {k - 2}  \\
\end{array}} \right)
$


Uitwerkingen

$
\left( {\begin{array}{*{20}c}
   n  \\
   k  \\
\end{array}} \right) + 2 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c}
   n  \\
   {k - 1}  \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
   n  \\
   {k - 2}  \\
\end{array}} \right) =
$
$
\eqalign{\frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}} + 2\frac{{n!}}{{\left( {k - 1} \right)!\left( {n - k + 1} \right)!}} + \frac{{n!}}{{(k - 2)!\left( {n - k + 2} \right)!}} =}
$
$\eqalign{
(n - k + 1)(n - k + 2)\frac{{n!}}{{k!\left( {n - k + 2} \right)!}} +...
}$
$\eqalign{
\,\,\,\,\,\,... + 2k\left( {n - k + 2} \right)\frac{{n!}}{{k!\left( {n - k + 2} \right)!}} + ...
}$
$\eqalign{
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,... + k(k - 1)\frac{{n!}}{{k!\left( {n - k + 2} \right)!}} =
}$
$\eqalign{
\frac{{n!}}{{k!\,\left( {n - k + 2} \right)!}}\left( {(n - k + 1)(n - k + 2) + 2k\left( {n - k + 2} \right) + k(k - 1)} \right) =
}$
$\eqalign{
\frac{{n!}}{{k!\,\left( {n - k + 2} \right)!}}\left( {(n + 1)(n + 2)} \right) =
}$
$\eqalign{
\frac{{n! \cdot (n + 1)(n + 2)}}{{k!\left( {n - k + 2} \right)!}} =
}$
$\eqalign{
\frac{{(n + 2)!}}{{k!\left( {n - k + 2} \right)!}} =
}$
$\eqalign{
\left( {\begin{array}{*{20}c}
   {n + 2}  \\
   k  \\
\end{array}} \right)
}$


Toelichting

Je wilt aantonen dat:

$
\left( {\begin{array}{*{20}c}
   {n + 2}  \\
   k  \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   n  \\
   k  \\
\end{array}} \right) + 2 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c}
   n  \\
   {k - 1}  \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
   n  \\
   {k - 2}  \\
\end{array}} \right)
$

Als je die termen uitschrijft krijg je:

$
\eqalign{\frac{{(n + 2)!}}{{k!\left( {n - k + 2} \right)!}} = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}} + 2\frac{{n!}}{{\left( {k - 1} \right)!\left( {n - k + 1} \right)!}} + \frac{{n!}}{{(k - 2)!\left( {n - k + 2} \right)!}}}
$

De kunst is nu om alle termen aan de rechter kant te schrijven als:

$
\eqalign{\frac{{...}}{{k!\left( {n - k + 2} \right)!}}}
$

Het is (als het ware) gelijknamig maken! Daarna kan je de termen rechts optellen en kijken wat er bij de teller moet staan...


Begrip en inzicht

Je zou ook in de driehoek van Pascal kunnen kijken:

$
\begin{array}{l}
 \left( {\begin{array}{*{20}c}
   n  \\
   k  \\
\end{array}} \right) + 2 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c}
   n  \\
   {k - 1}  \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
   n  \\
   {k - 2}  \\
\end{array}} \right) =  \\  
 \left( {\begin{array}{*{20}c}
   n  \\
   {k - 2}  \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
   n  \\
   {k - 1}  \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
   n  \\
   {k - 1}  \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
   n  \\
   k  \\
\end{array}} \right) =  \\  
 \left( {\begin{array}{*{20}c}
   {n + 1}  \\
   {k - 1}  \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
   {n + 1}  \\
   k  \\
\end{array}} \right) =  \\  
 \left( {\begin{array}{*{20}c}
   {n + 2}  \\
   k  \\
\end{array}} \right) \\  
 \end{array}
$
...dan is het minder ingewikkeld dan je denkt.  Gebruik daarbij de eigenschap:

$
\left( {\begin{array}{*{20}c}
   n  \\
   k  \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   {n - 1}  \\
   {k - 1}  \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
   {n - 1}  \\
   k  \\
\end{array}} \right)
$


©2004-2024 W.v.Ravenstein