0. voorkennis
Het differentiequotiënt
Het differentiequotiënt van y op $
\left[ {x_A ,x_B } \right]
$ is:
- de gemiddelde verandering van $y$ op $[x_A,x_B]$
- de richtingscoëfficiënt (ook wel helling) van de lijn $AB$
- $\Large \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{y_B - y_A }}{{x_B - x_A }}$
Het differentiequotiënt van $f(x)$ op het interval $[a,b]$ is gelijk aan:
$\eqalign{\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}$
Snelheid en richtingscoëfficiënt
Bij een tijd-afstandformule benader je de snelheid op een tijdstip $t=a$ met het differentiequotiënt op het interval $[a,a+\Delta t]$ met (bijvoorbeeld) $\Delta t=0,01$ of $\Delta t=0,001$
In een tijd-afstandgrafiek is de snelheid op gelijk aan de richtingscoëfficiënt van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt.
$
\eqalign{\left[ {{{dy} \over {dx}}} \right]_{x = x_A }}
$ is:
- de richtingscoëfficiënt van de raaklijn van de grafiek in $A$
- de helling van de grafiek in $A$
- de snelheid waarmee $y$ verandert voor $x=x_A$
Hellingsgrafiek en afgeleide functie
De hellingsfunctie van $f$ geeft bij elke $x$ de helling van de grafiek van $f$ in dat punt.
De grafiek van de hellingfunctie heeft de hellingsgrafiek.
Een ander woord voor hellingfunctie is afgeleide functie of afgeleide.
Uit de gegeven grafiek van $f$ kun je bijzonderheden van de hellingsgrafiek afleiden:
- Bij een dalend deel van de grafiek van $f$ horen negatieve hellingen, de hellingsgrafiek ligt daar onder de $x$-as
- In een top van de grafiek van $f$ is de helling nul. De hellingsgrafiek snijdt de $x$-as.
- Bij een stijgend deel van de grafiek van $f$ horen positieve hellingen, dus de hellingsgrafiek ligt daar boven de $x$-as,.
In een buigpunt van de grafiek van $f$ is de helling mimimaal dan wel maximaal. Een buigpunt van de grafiek van $f$ geeft derhalve een top bij de hellingsgrafiek.
Regels voor de afgeleide
Het berekenen van de formule van de afgeleide heet differentiëren.
Regels voor het diffferentiëren:
- De afgeleide van $f(x)=a$ is gelijk aan $f'(x)=0$
- De afgeleide van $f(x)=ax$ is gelijk aan $f'(x)=a$
- De afgeleide van $f(x)=ax^2$ is gelijk aan $f'(x)=2ax$
- ...
De hoofdregel:
- de afgeleide van $f(x) = x^n$ is $f'(x) = nx^{n - 1}$.
Machtsfuncties
Een machtsfunctie heeft de vorm $f(x)=ax^n$
De functie $f$ is een standaardfunctie. De bijbehorende grafiek is een standaardgrafiek.
Bij even waarden van $n$ is de grafiek (lijn-)symmetrisch met de $y$-as. Bij oneven waarden van $n$ is de grafiek puntsymmetrisch met de oorsprong als punt van symmetrie.
- Zie grafieken hieronder.
Voorbeeld
Je kunt $f(x)=\frac{1}{2}(3x-4)^5-6$ opvatten als een transformatie van de standaardgrafiek $y=x^5$.
- Schets de grafiek
- Geef de coördinaten van het snijpunt van $f$ met de $y$-as
