1. raaklijnen en toppen
Formule van raaklijn met behulp van de afgeleide
Je weet dat de afgeleide van f aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegt.
- f'(a) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a,f(a))
Voorbeeld 1
f(x)=-x^2+4x
- Geef de vergelijking van de raaklijn aan f in het punt A(1,3)
- De lijn k raakt f in O(0,0) en de lijn m raakt f in C(4,0). Bereken de coördinaten van het snijpunt van k en m.
- De lijn n:y=4x+b raakt de grafiek van f. Bereken b.
Voorbeeld 2
g(x)=\frac{1}{2}x^2-2
- Wat is de vergelijking van de raaklijn aan g die loodrecht staat op de raaklijn door het punt D(2,0)?
Zie voorbeeld 1 en 2 uitgewerkt
Raaklijn met gegeven richtingscoëfficiënt
Met de afgeleide kan je punten van f vinden waar de raaklijn een bepaalde waarde van richtingscoëfficiënt heeft.
Voorbeeld 3
Gegeven: f(x)=x^3-3x^2-6x+15. In de punten A en B van de grafiek van f is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan 3.
- Bereken algebraïsch de coördinaten van A en B.
Uitwerking
f'(x)=3x^2-6x-6
De rico is 3 dus f'(x)=3. Dit geeft:
3x^2-6x-6=3
3x^2-6x-9=0
x^2-2x-3=0
(x-3)(x+1)=0
x=3 of x=-1
f(-1)=17 en f(3)=-3. Je krijgt:
- A(-1,17) en B(3,-3)
Opgave 1
Geef een vergelijking voor de raaklijn aan y=2x^3 in het punt (1,2).
Opgave 2
Geef een vergelijking voor de raaklijn aan y=-3x^2+4x+5 in (3,-10).
Extreme waarden berekenen met behulp van de afgeleide
Bij extreme waarden loopt de raaklijn horizontaal. Dat betekent dat de richtingscoëfficiënt van de raaklijn nul is.
Anders geformuleerd:
Als f'(x)=0 heb je (mogelijkerwijs) te maken met een extreem.
Aantonen van extreme waarden
Bij het met de afgeleide aantonen dat de functie f een extreme waarde heeft voor x=a:
Werkschema
- Bereken f'
- Laat met een berekening zien dat f'(a)=0
- Schets de grafiek van f en laat zien dat de grafiek een top heeft voor x=a
Je kunt zeggen dat voor een extreme waarde het feit dat f'(a)=0 een noodzakelijke voorwaarde is, maar het is geen voldoende voorwaarde. Het kan immers ook een buigpunt zijn.
Opgave 3
- Gegeven f(x)=x^4-50x^2+544, bepaal de extreme waarden van f.
opgave 4
- Gegeven g(x)=x^4-4x^3, bepaal de extreme waarden van g.