Wiskundeleraar

1. raaklijnen en toppen

Formule van raaklijn met behulp van de afgeleide

Je weet dat de afgeleide van $f$ aan elke $x$ de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van $f$ toevoegt.

$f'(a)$ is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn van de grafiek van $f$ in het punt $A(a,f(a))$

Voorbeeld 1

$f(x)=-x^2+4x$

Geef de vergelijking van de raaklijn aan f in het punt $A(1,3)$
De lijn $k$ raakt $f$ in $O(0,0)$ en de lijn $m$ raakt $f$ in $C(4,0)$. Bereken de coördinaten van het snijpunt van $k$ en $m$.
De lijn $n:y=4x+b$ raakt de grafiek van $f$. Bereken b.

Voorbeeld 2

$g(x)=\frac{1}{2}x^2-2$

Wat is de vergelijking van de raaklijn aan $g$ die loodrecht staat op de raaklijn door het punt $D(2,0)$?

Zie voorbeeld 1 en 2 uitgewerkt

Raaklijn met gegeven richtingscoëfficiënt

Met de afgeleide kan je punten van $f$ vinden waar de raaklijn een bepaalde waarde van richtingscoëfficiënt heeft.

Voorbeeld 3

Gegeven: $f(x)=x^3-3x^2-6x+15$. In de punten $A$ en $B$ van de grafiek van $f$ is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan 3.

Bereken algebraïsch de coördinaten van $A$ en $B$.

Uitwerking

$f'(x)=3x^2-6x-6$
De rico is 3 dus $f'(x)=3$. Dit geeft:

$3x^2-6x-6=3$
$3x^2-6x-9=0$
$x^2-2x-3=0$
$(x-3)(x+1)=0$
$x=3$ of $x=-1$

$f(-1)=17$ en $f(3)=-3$. Je krijgt:

$A(-1,17)$ en $B(3,-3)$

Opgave 1

Geef een vergelijking voor de raaklijn aan $y=2x^3$ in het punt $(1,2)$.

Opgave 2

Geef een vergelijking voor de raaklijn aan $y=-3x^2+4x+5$ in $(3,-10)$.

opgave 1 en 2 uitgewerkt

Extreme waarden berekenen met behulp van de afgeleide

Bij extreme waarden loopt de raaklijn horizontaal. Dat betekent dat de richtingscoëfficiënt van de raaklijn nul is.

Anders geformuleerd:

Als $f'(x)=0$ heb je (mogelijkerwijs) te maken met een extreem.

Aantonen van extreme waarden

Bij het met de afgeleide aantonen dat de functie $f$ een extreme waarde heeft voor $x=a$:

Werkschema

Bereken $f'$
Laat met een berekening zien dat $f'(a)=0$
Schets de grafiek van $f$ en laat zien dat de grafiek een top heeft voor $x=a$

Je kunt zeggen dat voor een extreme waarde het feit dat $f'(a)=0$ een noodzakelijke voorwaarde is, maar het is geen voldoende voorwaarde. Het kan immers ook een buigpunt zijn.

Opgave 3

Gegeven $f(x)=x^4-50x^2+544$, bepaal de extreme waarden van f.

opgave 4

Gegeven $g(x)=x^4-4x^3$, bepaal de extreme waarden van g.

opgave 3 en 4 uitgewerkt

Volgende Vorige

Terug Home