1. raaklijnen en toppen

Formule van raaklijn met behulp van de afgeleide

Je weet dat de afgeleide van f aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegt.

  • f'(a) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a,f(a))

Voorbeeld 1

f(x)=-x^2+4x

  1. Geef de vergelijking van de raaklijn aan f in het punt A(1,3)
  2. De lijn k raakt f in O(0,0) en de lijn m raakt f in C(4,0). Bereken de coördinaten van het snijpunt van k en m.
  3. De lijn n:y=4x+b raakt de grafiek van f. Bereken b.

Voorbeeld 2

 g(x)=\frac{1}{2}x^2-2

  • Wat is de vergelijking van de raaklijn aan g die loodrecht staat op de raaklijn door het punt D(2,0)?

Zie voorbeeld 1 en 2 uitgewerkt


Raaklijn met gegeven richtingscoëfficiënt

Met de afgeleide kan je punten van f vinden waar de raaklijn een bepaalde waarde van richtingscoëfficiënt heeft.

Voorbeeld 3

Gegeven: f(x)=x^3-3x^2-6x+15. In de punten A en B van de grafiek van f is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan 3.

  • Bereken algebraïsch de coördinaten van A en B.

Uitwerking

f'(x)=3x^2-6x-6
De rico is 3 dus f'(x)=3. Dit geeft:

3x^2-6x-6=3
3x^2-6x-9=0
x^2-2x-3=0
(x-3)(x+1)=0
x=3 of x=-1

f(-1)=17 en f(3)=-3. Je krijgt:

  • A(-1,17) en B(3,-3)

Opgave 1

Geef een vergelijking voor de raaklijn aan y=2x^3 in het punt (1,2).


Opgave 2

Geef een vergelijking voor de raaklijn  aan y=-3x^2+4x+5 in (3,-10).


opgave 1 en 2 uitgewerkt


Extreme waarden berekenen met behulp van de afgeleide

Bij extreme waarden loopt de raaklijn horizontaal. Dat betekent dat de richtingscoëfficiënt van de raaklijn nul is.

Anders geformuleerd:

Als f'(x)=0 heb je (mogelijkerwijs) te maken met een extreem.


Aantonen van extreme waarden

Bij het met de afgeleide aantonen dat de functie f een extreme waarde heeft voor x=a:

Werkschema

  1. Bereken f'
  2. Laat met een berekening zien dat f'(a)=0
  3. Schets de grafiek van f en laat zien dat de grafiek een top heeft voor x=a

Je kunt zeggen dat voor een extreme waarde het feit dat f'(a)=0 een noodzakelijke voorwaarde is, maar het is geen voldoende voorwaarde. Het kan immers ook een buigpunt zijn.


Opgave 3

  • Gegeven f(x)=x^4-50x^2+544, bepaal de extreme waarden van f.

opgave 4

  • Gegeven g(x)=x^4-4x^3, bepaal de extreme waarden van g.

opgave 3 en 4 uitgewerkt