Actueel
Archief
Culinair
Didactiek
Documentatie
Etalage
Formules
Fotoboeken
Functies
Geschiedenis
ICT
ICTauteur
Laatste nieuws
Lesmateriaal
Muziek
Natuur
Onderwijs
Ontspanning
Persoonlijk
Probleemaanpak
Proeftuin
Puzzels
Rekenen
Rekenmachines
Ruimtemeetkunde
Schoolwiskunde
Snippers
Systeem
Taal van de wiskunde
Vergelijkingen
Verhalen
WisFaq
WisKast




0. voorkennis

Het differentiequotiënt

Het differentiequotiënt van y op $
\left[ {x_A ,x_B } \right]
$ is:

  • de gemiddelde verandering van $y$ op $[x_A,x_B]$
  • de richtingscoëfficiënt (ook wel helling) van de lijn $AB$
  • $\Large \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{y_B  -  y_A }}{{x_B  -  x_A }}$

Het differentiequotiënt van $f(x)$ op het interval $[a,b]$ is gelijk aan:

$\eqalign{\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}$

Snelheid en richtingscoëfficiënt

Bij een tijd-afstandformule benader je de snelheid op een tijdstip $t=a$ met het differentiequotiënt op het interval $[a,a+\Delta t]$ met (bijvoorbeeld) $\Delta t=0,01$ of $\Delta t=0,001$

In een tijd-afstandgrafiek is de snelheid op gelijk aan de richtingscoëfficiënt van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt.

$
\eqalign{\left[ {{{dy} \over {dx}}} \right]_{x = x_A }}
$ is:

  • de richtingscoëfficiënt van de raaklijn van de grafiek in $A$
  • de helling van de grafiek in $A$
  • de snelheid waarmee $y$ verandert voor $x=x_A$

Hellingsgrafiek en afgeleide functie

De hellingsfunctie van $f$ geeft bij elke $x$ de helling van de grafiek van $f$  in dat punt.

De grafiek van de hellingfunctie heeft de hellingsgrafiek.

Een ander woord voor hellingfunctie is afgeleide functie of afgeleide.

Uit de gegeven grafiek van $f$ kun je bijzonderheden van de hellingsgrafiek afleiden:

  • Bij een dalend deel van de grafiek van $f$ horen negatieve hellingen, de hellingsgrafiek ligt daar onder de $x$-as
  • In een top van de grafiek van $f$ is de helling nul. De hellingsgrafiek snijdt de $x$-as.
  • Bij een stijgend deel van de grafiek van $f$ horen positieve hellingen, dus de hellingsgrafiek ligt daar boven de $x$-as,.

In een buigpunt van de grafiek van $f$ is de helling mimimaal dan wel maximaal. Een buigpunt van de grafiek van $f$ geeft derhalve een top bij de hellingsgrafiek.

Regels voor de afgeleide

Het berekenen van de formule van de afgeleide heet differentiëren.

Regels voor het diffferentiëren:

  • De afgeleide van $f(x)=a$ is gelijk aan $f'(x)=0$
  • De afgeleide van $f(x)=ax$ is gelijk aan $f'(x)=a$
  • De afgeleide van $f(x)=ax^2$ is gelijk aan $f'(x)=2ax$
  • ...

De hoofdregel:

  • de afgeleide van $f(x) = x^n$ is $f'(x) = nx^{n - 1}$.

Machtsfuncties

Een machtsfunctie heeft de vorm $f(x)=ax^n$

De functie $f$ is een standaardfunctie. De bijbehorende grafiek is een standaardgrafiek.

Bij even waarden van $n$ is de grafiek (lijn-)symmetrisch met de $y$-as. Bij oneven waarden van $n$ is de grafiek puntsymmetrisch met de oorsprong als punt van symmetrie.

  • Zie grafieken hieronder.

Voorbeeld

Je kunt $f(x)=\frac{1}{2}(3x-4)^5-6$ opvatten als een transformatie van de standaardgrafiek $y=x^5$.

  • Schets de grafiek
  • Geef de coördinaten van het snijpunt van $f$ met de $y$-as

Zie voorbeeld uitgewerkt

q8151img1.gifq8151img3.gif

©2004-2024 W.v.Ravenstein