2. de afgeleide van machtsfuncties
De afgeleide van f(x)=xn
Algemeen:
-
De afgeleide van f(x)=x^n is:
f'(x)=n\cdot x^{n - 1} voor n \in R.
Daarmee kan je de afgeleide bepalen van gebroken functies en wortelfuncties:
\eqalign{ & f(x) = \frac{1} {{x^2 }} \cr & g(x) = \sqrt x \cr & h(x) = \frac{2} {{\root 3 \of {x^2 } }} \cr & k(x) = \frac{{x^3 - 4}} {{3x}} \cr}
Raaklijnen en toppen bij gebroken functies
Bij functies met gebroken vergelijking kan je de afgeleide gebruiken om raaklijnen, raakpunten en extremen te berekenen.
Voorbeeld
Gegeven \eqalign{f(x)=\frac{{x^3-1}}{x}}
- In welke punten is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan 3?
- Bereken de extreme waarde(n).
De afgeleide van f(x)=xn voor elke n van R
De afgeleide van f(x)x^n is f'(x)=nx^{n-1} voor elke n van R
Afspraak
Bij het differentiëren mag je in het antwoord alleen gebroken exponenten laten staan als de functie zelf ook met gebroken exponenten is gegeven.
Stappenplan:
- Zet eerst de wortels om in gebroken exponenten.
- Zet de machten in de noemer in de teller. Die worden dan negatief.
- Schrijf in de standaardvorm.
- Dan kan je met de hoofdregel differentieren.
- Zet de negatieve machten in de teller in de noemer. De exponent wordt positief.
- Schrijf de gebroken exponenten als wortels.
De afgeleide van y=\sqrt{x}
Je kunt de afgeleide van f(x)=\sqrt{x} bepalen door \sqrt{x} te schrijven een gebroken macht.
\eqalign{ & f(x) = \sqrt x = x^{\frac{1} {2}} \cr & f'(x) = \frac{1} {2}x^{ - \frac{1} {2}} \cr & f'(x) = \frac{1} {2} \cdot \frac{1} {{x^{\frac{1} {2}} }} \cr & f'(x) = \frac{1} {2} \cdot \frac{1} {{\sqrt x }} = \frac{1} {{2\sqrt x }} \cr}
Maar 'echt handig' is dat niet.
Je kunt ook onthouden dat de afgeleide van \sqrt{x} gelijk is aan \eqalign{\frac{1}{{2\sqrt x }}}.
Wij noemen dat dan een standaard afgeleide.
Voorbeelden
\eqalign{ & f(x) = \root 7 \of {x^{16} } \cr & f(x) = x^{2\frac{2} {7}} \cr & f'(x) = 2\frac{2} {7}x^{1\frac{2} {7}} \cr & f'(x) = 2\frac{2} {7}\root 7 \of {x^9 } \cr}
\eqalign{ & f(x) = \frac{3} {{x^3 }} \cr & f(x) = 3x^{ - 3} \cr & f'(x) = 3 \cdot - 3x^{ - 4} \cr & f'(x) = - 9x^{ - 4} \cr & f'(x) = - \frac{9} {{x^4 }} \cr}