2. de afgeleide van machtsfuncties
De afgeleide van f(x)=xn
Algemeen:
-
De afgeleide van $f(x)=x^n$ is:
$f'(x)=n\cdot x^{n - 1}$ voor $n \in R$.
Daarmee kan je de afgeleide bepalen van gebroken functies en wortelfuncties:
$
\eqalign{
& f(x) = \frac{1}
{{x^2 }} \cr
& g(x) = \sqrt x \cr
& h(x) = \frac{2}
{{\root 3 \of {x^2 } }} \cr
& k(x) = \frac{{x^3 - 4}}
{{3x}} \cr}
$
Raaklijnen en toppen bij gebroken functies
Bij functies met gebroken vergelijking kan je de afgeleide gebruiken om raaklijnen, raakpunten en extremen te berekenen.
Voorbeeld
Gegeven $\eqalign{f(x)=\frac{{x^3-1}}{x}}$
- In welke punten is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan 3?
- Bereken de extreme waarde(n).
De afgeleide van f(x)=xn voor elke n van R
De afgeleide van $f(x)x^n$ is $f'(x)=nx^{n-1}$ voor elke $n$ van $R$
Afspraak
Bij het differentiëren mag je in het antwoord alleen gebroken exponenten laten staan als de functie zelf ook met gebroken exponenten is gegeven.
Stappenplan:
- Zet eerst de wortels om in gebroken exponenten.
- Zet de machten in de noemer in de teller. Die worden dan negatief.
- Schrijf in de standaardvorm.
- Dan kan je met de hoofdregel differentieren.
- Zet de negatieve machten in de teller in de noemer. De exponent wordt positief.
- Schrijf de gebroken exponenten als wortels.
De afgeleide van $y=\sqrt{x}$
Je kunt de afgeleide van f(x)=$\sqrt{x}$ bepalen door $\sqrt{x}$ te schrijven een gebroken macht.
$
\eqalign{
& f(x) = \sqrt x = x^{\frac{1}
{2}} \cr
& f'(x) = \frac{1}
{2}x^{ - \frac{1}
{2}} \cr
& f'(x) = \frac{1}
{2} \cdot \frac{1}
{{x^{\frac{1}
{2}} }} \cr
& f'(x) = \frac{1}
{2} \cdot \frac{1}
{{\sqrt x }} = \frac{1}
{{2\sqrt x }} \cr}
$
Maar 'echt handig' is dat niet.
Je kunt ook onthouden dat de afgeleide van $\sqrt{x}$ gelijk is aan $\eqalign{\frac{1}{{2\sqrt x }}}$.
Wij noemen dat dan een standaard afgeleide.
Voorbeelden
$
\eqalign{
& f(x) = \root 7 \of {x^{16} } \cr
& f(x) = x^{2\frac{2}
{7}} \cr
& f'(x) = 2\frac{2}
{7}x^{1\frac{2}
{7}} \cr
& f'(x) = 2\frac{2}
{7}\root 7 \of {x^9 } \cr}
$
$
\eqalign{
& f(x) = \frac{3}
{{x^3 }} \cr
& f(x) = 3x^{ - 3} \cr
& f'(x) = 3 \cdot - 3x^{ - 4} \cr
& f'(x) = - 9x^{ - 4} \cr
& f'(x) = - \frac{9}
{{x^4 }} \cr}
$