D. Een bol in een kegel


Opgave

Gegeven is een kegel met een diameter van het grondvlak van 12 en een hoogte van 8. In de kegel past precies een bol.

 

  • Bereken exact de oppervlakte en de inhoud van de kegel en de bol.

Uitwerking en toelichting

Je wilt dan de straal van de bol weten. Maak een tekening:

q9646img1.gif

De straal is $r$. Je krijgt dan:

q9647img1.gif

Gelijkvormigheid

q9650img1.gif

Driehoek ABC is gelijkvormig met driehoek PQC, kijk naar de overeenkomstige hoeken.

$\angle$A is gelijk aan $\angle$Q, want die zijn beide 90$^o$.
$\angle$C is gelijk aan $\angle$C (triviaal:-)
$\angle$B is gelijk aan $\angle$P, want de som van de hoeken is 180$^o$

$\Delta$ABC~$\Delta$QPC

q9650img2.gif

Invullen:

q9650img3.gif

Kruislings vermenigvuldigen geeft:

$\begin{array}{l} 6(8 - r) = 10 \cdot r \\ 48 - 6r = 10r \\ 16r = 48 \\ r = 3 \\ \end{array} $

Oppervlakte en inhoud

$
\begin{array}{l}
 O_{kegel}  = \pi r^2  + \pi rR = \pi  \cdot 6^2  + \pi  \cdot 6 \cdot 10 = 96\pi  \\
 I_{kegel}  = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi  \cdot 6^2  \cdot 8 = 96\pi  \\
 O_{bol}  = 4\pi r^2  = 4\pi  \cdot 3^2  = 36\pi  \\
 I_{bol}  = \frac{4}{3}\pi r^3  = \frac{4}{3}\pi  \cdot 3^3  = 36\pi  \\
 \end{array}
$


©2004-2019 W.v.Ravenstein